Der Prinz und der Gloeckner
Visuelltexte

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Banachscher Fixpunktsatz

Grundlage für einige automatisch ablaufende dynamische Visuelltexte ist der Banachsche Fixpunktsatz, der garantiert, daß die durchgeführten Abbildungen gegen genau einen Fixpunkt konvergieren...

Banachscher Fixpunktsatz:
Sei X eine (nichtleere) abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes und A eine kontrahierende Selbstabbildung von X, für alle x, y aus X gelte also:
||Ax-Ay|| <= q ||x-y|| mit einem festen positiven q < 1.
Dann besitzt A genau einen Fixpunkt x in X.

Der Fixpunkt x kann iterativ gewonnen werden:
wählt man einen beliebigen Startpunkt x0 aus X und setzt
xn+1 := A xn
mit n = 0, 1, 2, 3, ... so konvergiert xn -> x.

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