Grundlage für einige automatisch ablaufende dynamische Visuelltexte ist der Banachsche Fixpunktsatz, der garantiert, daß die durchgeführten Abbildungen gegen genau einen Fixpunkt konvergieren...
Banachscher Fixpunktsatz:
Sei X eine (nichtleere) abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes und
A eine kontrahierende Selbstabbildung von X, für alle
x, y aus X gelte also:
||Ax-Ay|| <= q ||x-y|| mit einem festen positiven q < 1.
Dann besitzt A genau einen Fixpunkt x in X.
Der Fixpunkt x kann iterativ gewonnen werden:
wählt man einen beliebigen Startpunkt x0
aus X und setzt
xn+1 := A xn
mit n = 0, 1, 2, 3, ... so konvergiert xn -> x.